キャブの中のガソリンを一度抜いてみましたか？1か月程度で劣化するとは思えませんが、放置していてまず最初に疑うのはガソリンの劣化があります。ガソリンは揮発性なので、時間が経つと揮発性の成分が気化していきます。

先日、知り合いの原付(半年放置)のチェックをした時も、フロート内のガソリンを抜いて、タンク内のガソリン(半年経つと結構劣化するようです)を交換したらかかりました。

とはいえ、ガソリンは引火性なので、フロートのガソリンを抜く作業の際はくれぐれも気をつけて下さい。